Théorie de l'homotopie stratifiée

La notion d'espace stratifié apparait naturellement en théorie des singularités. Dans les année 80, Goresky et MacPherson ont développé la cohomologie d'intersection pour étendre les propriétés cohomologiques des variétés aux espaces stratifiés. Depuis, la cohomologie d'intersection s'est avéré être un outil puissant dans l'étude de ces objets. Cependant, la cohomologie d'intersection n'est pas invariante par toutes les homotopies, mais seulement par celles qui "préservent" les stratifications. La question se pose donc : Existe-t-il une catégorie de modèle pour les espaces stratifiés qui encode cette notion d'homotopie "stratifiée" et, si oui, peut-on obtenir la cohomologie d'intersection comme un foncteur représentable dans cette catégorie?

 

On verra dans cet exposé une réponse à la première partie de cette question à travers la catégorie de modèle des ensembles simpliciaux filtrés. Après une présentation de cette catégorie de modèle, on verra que les équivalences faibles peuvent y être caractérisé par des groupes d'homotopies filtrées. Finalement, on verra comment extraire de cette structure de modèle des résultats sur les espaces stratifiés, tels qu'une version stratifiée du théorème de Whitehead. On illustrera ces résultats par des exemples élémentaires.