Résolutions simultanées, déformations μ-constantes et espaces de m-jets

Soit V une hypersurface ayant une unique singularité isolée et Vm, m ≥ 0, l’espace de m-jets associé à V. La structure des espaces Vm dépend fortement de la géométrie locale du lieu singulier de V. Pour cette raison, nous nous intéressons à la géométrie des espaces Vm.

Soit W une déformation de V. On sait que si W admet une résolution simultanée plongée, alors la déformation W induit une déformation de la structure réduite de Vm. L'hypothèse d’existence d’une résolution simultanée plongée n’est pas si restrictive que l’on pourrait croire. Cette hypothèse implique que W est une déformation μ-constante. Cependant la déformation W n’est pas forcement une déformation μ⋆ constante.

Cet exposé est principalement une introduction au sujet. Nous expliquerons les notions de base de déformation, résolution simultanée, espace de m-jets et nous exhiberons un exemple de la dernière affirmation de ci-dessus. Finalement, nous parlerons d’une conjecture sur les résolutions simultanées plongées et de nos travaux en cours.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec  Hussein Mourtada et Mark Spivakovsky.