Torsion pour les variétés abéliennes de type III

Le théorème de Mordell-Weil affirme que pour toute variété abélienne A, définie
sur un corps de nombres K, le groupe des points K-rationnels est de type fini. Plus
particulièrement, on s’intéresera dans cet exposé au sous-groupe fini des points de
torsion A(K) tors définis sur K.
C’est naturel de se demander si on peut obtenir une borne uniforme pour
|A(L)_tors|, dépendant uniquement du degré [L:K], lorsque la variété abélienne
A varie et le corps de nombres L est fixé. Cette question est connue comme la
conjecture de la borne uniforme. Pour ce qui est des courbes elliptiques, définies
sur un corps de nombres K, Merel a prouvé en 1994 que l’on peut en effet obtenir
une borne uniforme en utilisant des méthodes développées par Mazur et Kamienny.
Cependant il est aussi naturel de se demander si l’on peut obtenir une borne
de |A(L)_tors| qui dépend uniquement du degré [L:K] lorsque l’extension L/K
varie et la variété abélienne A est fixée. Dans cette direction Hindry et Ratazzi
ont énoncé plusieurs résultats concernant certaines classes de variétés abéliennes,
en particulier leurs résultats fournissent une borne optimale.
L’objectif de cet exposé, sera de vous présenter des nouveaux résultats dans
cette dernière direction. On se concentrera sur la classe de variétés abéliennes de
type III pleinement de type Lefschetz, c’est-à-dire, des variétés abéliennes telles
que leur groupe de Mumford-Tate soit le groupe des similitudes orthogonales qui
commutent avec les endomorphismes et telles qu’elles vérifient la conjecture de
Mumford-Tate. En particulier, on fournit une liste de variétés abéliennes dont on
sait prouver qu’elles sont pleinement de type Lefschetz.