Relations algébriques entre valeurs de fonctions mahlériennes en caractéristique non nulle

 Soient $\mathbb{K}$ un corps de fonctions de caractéristique non nulle et $d\geq 2$ un entier. On dit qu'une série formelle $f(z)\in \mathbb{K}[[z]]$ est $d$-mahlérienne sur $\mathbb{K}(z)$ s'il existe des polynômes $P_{0}(z),\ldots, P_{n}(z)\in\mathbb{K}[z]$, $P_{n}(z)$ $\cancel\equiv$  $0$, tels que
\begin{equation*}
P_{0}(z)f(z)+P_{1}(z)f(z^{d})+\cdots+P_{n}(z)f(z^{d^{n}})=0.
\end{equation*}
Parmi ces fonctions se trouvent les séries automatiques, qui ont grandement contribué à l'intérêt croissant porté à la méthode développée par K. Mahler pour étudier la transcendance et l'indépendance algébrique de valeurs de fonctions mahlériennes.

Soient $f_{1}(z),\ldots,f_{n}(z)$ des fonctions $d$-mahlériennes et soit $\alpha$ un nombre algébrique sur $\mathbb{K}$. Nous présentons et illustrons dans cet exposé le résultat suivant. Sous certaines hypothèses que nous expliciterons, toute relation algébrique homogène sur $\overline{\mathbb{K}}$ entre $f_{1}(\alpha),\ldots,f_{n}(\alpha)$ provient de la spécialisation en $z=\alpha$ d'une relation algébrique homogène sur $\overline{\mathbb{K}}(z)$ entre $f_{1}(z),\ldots,f_{n}(z)$.

Lorsque $\mathbb{K}$ est un corps de nombres, ce résultat est établi par B. Adamczewski et C. Faverjon, comme conséquence d'un résultat de P. Philippon. Le principal intérêt de la caractéristique non nulle est que l'on peut réaliser des nombres remarquables (périodes de modules de Drinfeld) comme valeurs de fonctions mahlériennes. Cette observation fructueuse est due à L. Denis.