Résolutions finies et Dualité de Gross-Hopkins

La catégorie de l'homotopie stable K(n)-locale pour un entier n et un nombre premier p est centrale dans la théorie d'homotopie chromatique. La dernière, étant une catégorie symmétrique monoïdale, a pour invariant son groupe de Picard, le groupe des objets inversibles. Parmi ces objets, la duale de Gross-Hopkins de la sphère se distingue comme un analogue de la duale de Grothendieck-Serre. Résolutions finies sont des outils puissants pour comprendre et calculer dans la catégorie K(n)-locale. Cela consiste à décomposer la sphère K(n)-locale en des spectres de K-théorie supérieure, analogues à K-théorie (réelle) topologique, qui sont plus maniable que la sphère elle-même. Dans cet exposé, je passerai d'abord en revue ces objets et puis expliquerai comment des résolutions finies permettent de comprendre la duale de Gross-Hopkins avec une attention particulière sur le cas n=p=2, notre frontière de connaissance.