Analyse qualitative de plusieurs types de systèmes de maladies infectieuses avec effets de réaction ou de diffusion

Cette thèse étudie quelques problèmes qualitatifs pour les systèmes d’équations différentielles modélisant des maladies infectieuses avec des effets de réaction ou de diffusion. Il se compose en trois parties. Premièrement, nous étudions un système de réaction-diffusion complex décrivant la propagation spatio-temporelle de la grippe avec de multiples souches. Nous établissons les conditions d’existence d’ondes semi-progressives, progressives fortes et faibles (persistantes) reliant l’équilibre sans maladie. Nous discutons en outre plusieurs situations dans lesquelles les ondes semi-progressives n’existent pas, et donnent une estimation de la vitesse minimale d’onde. Deuxièmement, nous analysons une classe de systèmes éco-épidémiologiques dans lesquels les proies sont sujettes à l’effet Allee et à l’infection. Pour certains sous-systèmes, nous déterminons l’existence du point de bifurcation (bifurcation Hopf et bifurcation d’orbites hétéroclines). Nous montrons que l’effet Allee fort peut créer une courbe séparatrice (ou une surface), conduisant à une stabilité multiple. Nous trouvons que les cycles hétéroclines forment un réseau hétérocline et identifient une orbite périodique intérieure. Enfin, nous donnons une analyse qualitative de deux systèmes différentiels en réseau couplant la propagation de l’épidémie et la diffusion de l’information: le système d’interaction et le système de contrôle des épidémies. Plus spécifiquement, nous obtenons l’existence d’un équilibre sans maladie, d’un équilibre endémique et d’une variété de synchronisation, ainsi que leur stabilité asymptotique globale.