Espaces des modules des représentations pfaffiennes de cubiques de dimension 3

Dimitri Markushevich et Alexander Tikhomirov ont décrit en 1999 une famille de fibrés vectoriels de rang 2 à cohomologie "naturelle", appelés instantons, sur une hypersurface cubique lisse X de P4. L'espace de modules M(X) de ces fibrés instantons s'identifie à un ouvert d'un tore complexe J(X) de dimension 5, la jacobienne intermédiaire de X. Stéphane Druel a donné en 2000 une description complète du bord de M(X) dans la compactification de Gieseker-Maruyama M̅(X) paramétrant les faisceaux semistables de rang 2. Il se trouve que M̅(X) n'est pas J(X), mais un éclatement de J(X). La question se pose si J(X), la compactification naturelle de M(X) dans la classe des variétés, s'interprète aussi comme une compactification dans la classe des espaces de modules d'objets quelconques liés à X. Cela sert de motivation pour la recherche d'autres compactifications de M(X) qui soient des espaces de modules. Une autre motivation pour ce problème est de trouver une compactification M̃(X) de M(X) dont la relation à M̅(X) soit similaire à celle, établie par Jun Li, pour les instantons sur des surfaces algébriques, entre les compactifications de Donaldson-Uhlenbeck et de Gieseker-Maruyama, dont la seconde est un éclatement de la première. Une troisième motivation est d'obtenir une compactification plus maniable que M̅(X) au cas où X acquiert des singularités, car dans ce cas le bord de M̅(X) devient intraitable. Enfin, en faisant varier les cubiques X dans la famille des sections hyperplanes d'une cubique Y de P5, les espaces M̃(X) se collent en une variété portant une 2-forme holomorphe symplectique, d'où l'intérêt de la recherche d'un espace de modules compactifié susceptible d'être holomorphiquement symplectique. Dans la thèse on remplace les fibrés instantons par leurs résolutions localement libres antisymétriques sur P4, qui ne sont autres que les représentations des cubiques comme les pfaffiens des matrices antisymétriques de taille 6 de formes linéaires sur P4. Les espaces compactifiés M̃(X) se situent dans le lieu des matrices GIT-semistables quotienté par le groupe GL(6). La (semi)stabilité des matrices antisymétriques de formes linéaires sur P4 se réduit à celle des systèmes P4 ("hyperwebs") dans l'espace P14 des formes alternés, ou encore à celle des quintuplets de matrices antisymétriques complexes de taille 6. Ce problème est étudié par une méthode similaire à celle de C.T.C.Wall, qu'il a développée pour les systèmes linéaires de quadriques. Des critères de (semi)stabilité dans le cas anti-symétrique sont obtenus, ainsi que la classification géométrique des hyperwebs (semi)stables en fonction de l'intersection de P4 avec la grassmannienne G(2,6) plongée dans P14 selon Plücker. L'espace des déformations de la résolution antisymétrique d'un faisceau dans le bord B(X0) de M̅(X0) est étudié. En notant B, M, M̅, M̃ la réunion des espaces B(X), M(X), M̅(X), M̃(X) respectivement, pour X parcourant une famille complète des déformations de X0, on montre que B est formée de deux diviseurs B', B'' et que M̅ est, aux points génériques de B' et de B'', un éclatement de sous-variétés lisses dans M̃, ce qui permet de considérer M̃ comme une sorte de compactification de Donaldson-Uhlenbeck de M.