Propagation du chaos conditionnelle pour des systèmes de neurones en interactions.

Travail en collaboration avec Xavier Erny et Dasha Loukianova.

 

Nous étudions un système de N neurones en interactions. Chaque neurone émet des décharges éléctriques ("spikes'') avec un taux dépendant de son potential de membrane. Au moment du spike, son potentiel est remis à 0 tandis que tous les autres neurones dans le système reçoivent une quantité supplémentaire de potentiel. Cette quantité est aléatoire, centrée et de l'ordre de $1/ \sqrt(N)$. De plus, entre deux spikes successifs, le potentiel de membrane de chaque neurone suit un flot déterministe. Nous démontrons que le système converge, lorsque N tend vers l'infini, vers une EDS limite non-linéaire, dirigée par une mesure de Poisson et un mouvement Brownien supplémentaire qui est créé par le théorème central limite. Ce mouvement Brownien est sous-jacent à l'evolution de chaque neurone dans le système limite et engendre ainsi un facteur de bruit commun à tous les neurones. Par conséquent, pour le système limite, les différents neurones sont conditionnellement indépendants, sachant le mouvement Brownien - ce qui peut être exprimé comme propriété de "propagation du chaos conditionnelle". Nous obtenons un taux de convergence explicit. L'ingrédient principal de notre preuve est le célèbre couplage de Komlos, Major et Tusnady qui permet de coupler le processus des petits sauts du système fini avec le mouvement brownien limite.