Régularisation par le bruit dans les espaces Hölder et Besov

Dans un cadre non-Lipschitzien, le théorème de Cauchy-Peano n'assure pas l'unicité d'une solution régulière à une Équation Différentielle Ordinaire.
Nous nous intéressons à l'impact d'un bruit auto-similaire additif dans ce type d'EDO.
Plus précisément, nous étudions la régularisation de la solution de l'Équation Différentielle Stochastique et la restauration de l'unicité par la présence d'un bruit.
A l'aide d'une heuristique fondée sur l'exemple de Peano, nous voyons apparaître des seuils de régularité pour les coefficients.

Avec P.-E. Chaudru de Raynal et S. Menozzi, nous avons développé une méthode de type perturbative dépendant fortement des propriétés de dualité des espaces Besov.
Celle-ci permet d'obtenir des estimées de Schauder pour un système parabolique dégénéré à coefficients Hölder et de considérer des EDP/EDS associés à des $\alpha$-stables.

Dans le cas non-dégénéré, l'heuristique précédente nous suggère que la dérive de l'EDS doit être au moins "-1 Hölder". Considérer une dérive qui soit une distribution de l'espace Besov $\dot B_{\infty,\infty}^{-1+\gamma}$, $\gamma \in (0,1)$ reste encore un problème ouvert.

En guise d'application, nous utilisons l'équation de Kolmogorov via la transformation de Zvonkin Veretennikov pour montrer l’unicité forte d'un système stochastique dégénéré à coefficients Hölder.