Algèbres de Hopf de diagrammes de dissection

Cet exposé concerne l’étude de la combinatoire d’objets introduits par Clément Dupont appelés diagrammes de dissection. Pour tout scalaire $x$, on note $\mathcal{H}_D$ l’algèbre de Hopf graduée connexe des diagrammes de dissection de paramètre $x$ et on s’intéresse à sa cogèbre sous-jacente. Si $x = −1$, on peut montrer que l’algèbre de Hopf n’est pas colibre. Si $x\neq -1$, le problème est toujours ouvert. On considère également son dual gradué $\mathcal{H}_D^*$. Il possède une structure pré-Lie. On peut alors construire un morphisme pré-Lie entre l’algèbre pré-Lie des arbres enracinés à un générateur et l’algèbre pré-Lie des diagrammes de dissection. Ceci permet d’étudier l’algèbre pré-Lie engendrée par le diagramme de dissection de degré 1 et de montrer qu’il s’agit d’un sous-objet non trivial et non libre de l’algèbre pré-Lie des diagrammes de dissection.