Prolongement lipschitzien uniforme en courbure pincée

Soient $X$, $Y$ des espaces métriques et $X'$ une partie de $X$.
Une application $C$-lipschitzienne $X' \rightarrow  Y$ peut-elle s'étendre à $X$, avec la même constante $C$ ? En général : non.
Néanmoins, pour $X$, $Y$ des variétés riemanniennes simplement connexes avec courbures sectionnelles $0 > K_X > K_Y$, Lang et Schroeder ont montré qu'on peut répondre oui lorsque $C \geq 1$. Pour $C<1$ la situation est moins favorable, mais je montrerai comment construire un prolongement $C'$-lipschitzien avec $C'<1$ dépendant uniquement de $C$.