Opérateurs de réduction : complétion, syzygies et dualité de Koszul

La réécriture est une théorie combinatoire des relations d'équivalences où les propriétés de celles-ci sont déduites de leurs orientations. Une de ces propriétés est la confluence qui garantie la cohérence des calculs. Dans cet exposé, je présente une description des systèmes de réécriture à travers leurs représentations par des opérateurs de réduction. Cela permet d'obtenir des formulations de la confluence et de la procédure de complétion en termes de treillis. Je présente également des applications de cette approche au calcul des syzygies des systèmes de réécriture linéaires et à la dualité de Koszul. De celle-ci est issue la construction du complexe de Koszul, qui, lorsqu'il est acyclique, est une résolution minimale d'algèbres. Un critère introduit par Roland Berger garantie que le complexe de Koszul est une telle résolution minimale. En exploitant la structure de treillis des opérateurs de réduction, je propose via une homotopie contractante une preuve constructive de ce critère.