Etudes qualitatives de certaines équations de type Schrödinger de la physique mathématique

L'objet de cette thèse est l'étude qualitative des solutions de différentes équations non linéaires de type Schrödinger. Le premier chapitre est consacré à la décomposition en profils dans le cadre de l'équation de Schrödinger avec un potentiel en inverse carré. On montre un théorème de structure sur les suites bornées dans $H^1$ formées des solutions de l'équation susmentionnée et on l'utilise pour établir la concentration de la masse pour les solutions singulières et pour étudier la stabilité orbitale des ondes stationnaires en régime sous-critique et leur instabilité par explosion en régime critique. Le second chapitre porte sur le phénomène de la diffusion pour l'équation de Schrödinger exponentielle non homogène. On montre un résultat de diffusion pour les solutions globales de l'équation avec un potentiel faisant intervenir un poids singulier en espace (qu'on traite à l'aide des espaces de Lorentz) généralisant ainsi le résultat de diffusion de Ibrahim-Majdoub-Masmoudi-Nakanishi où le terme source était homogène. Enfin, dans le dernier chapitre, on aborde la thématique de la régularité de la partie Duhamel des solutions de l'équation de Schrödinger à masse critique et d'ordre supérieur. En utilisant des espaces fonctionnels basés sur des estimations de Strichrartz multilinéaires et adaptés à la non linéarité cubique, on montre que la solution est somme de la partie linéaire de même régularité que la donnée initiale et de la partie Duhamel plus régulière que cette dernière.