Géométrie et triangulations en topologie de basse dimension

Ce mémoire résume les résultats que j’ai obtenus, seul ou en collaboration, depuis la thèse. Inscrits dans la topologie de basse dimension, beaucoup de ces résultats sont reliés par la recherche de triangulations porteuses d’informations géométriques et/ou topologiques.

Le 1er chapitre concerne le prolongement lipschitzien équivariant en courbure négative et ses applications à la géométrie lorentzienne. Le 2e donne une paramétrisation de l’espace de déformation des espaces-temps de Margulis par le complexe des arcs de la surface sous-jacente. Le 3e montre que tout groupe de Coxeter agit proprement discontinûment par transformations affines sur un espace vectoriel réel de dimension finie. Ces chapitres ont en commun un critère de propreté basé sur la contraction métrique ; l'exposé en sera un survol.

Le 4e chapitre donne différentes caractérisations des représentations d’Anosov d’un groupe discret dans un groupe semi-simple tandis que le 5e propose une notion, étroitement reliée quoique différente, de convexe-cocompacité en géométrie projective.

Le 6e rassemble des résultats indépendants, notamment sur la triangulation des remplissages de Dehn hyperboliques, l’hélicité au sens d’Agol et ses liens avec les structures d’angles ou encore les surjections cercle-sphère de Cannon-Thurston. Le 7e expose un calcul supportant une version quantique (encore conjecturale) de la formule de Schläfli.