Fusion dans le groupe de tresses et matrices R quantiques de sl(N)

(Travail en collaboration avec Nicolas Crampé)
Le but de l'exposé est de présenter des algèbres diagrammatiques et leur déformations, qui généralisent le groupe symétrique et l'algèbre de Hecke. On appelle ces algèbres, respectivement, l'algèbre des permutations fusionnées (`fused permutations') et l'algèbre de Hecke fusionnée (`fused Hecke algebra'). Une première motivation pour considérer ces algèbres est que l'on peut écrire une formule de Baxterisation explicite qui donne, au niveau abstrait/algébrique, des solutions de l'équation de Yang-Baxter. Au niveau matriciel, ces formules contrôlent les solutions provenant du groupe quantique $U_q(sl_N)$ (de spin quelconque si $N=2$), généralisant ainsi le cas de l'algèbre de Hecke (qui contrôle le spin $1/2$ si $N=2$). Un autre intérêt est que ces algèbres contiennent naturellement un quotient (de dimension finie) du groupe de tresses. Ces deux motivations seront détaillées pendant l'exposé.
Ensuite, la signification de ces algèbres dans le cadre de la dualité de Schur-Weyl sera expliquée: elles décrivent les centralisateurs de représentations de $U_q(sl_N)$. On en donnera une description combinatoire dans la théorie des représentations, et aussi en terme plus algébrique/diagrammatique directement dans l'algèbre. Ces résultats peuvent être vus comme des analogues (pour un spin quelconque) de la construction de l'algèbre de Temperley-Lieb à partir de l'algèbre de Hecke.