q-déformations des nombres réels et du groupe modulaire

Les ``q-déformations'', ``quantifications'' ou encore ``q-analogues'' sont des notions similaires qui apparaissent dans de nombreux domaines de mathématiques et physique. L’objet le plus simple pouvant être ``q-déformé’’ est le nombre. Les suites de nombres classiques ont souvent des q-analogues intéressants, les plus connus étant certainement les q-nombres entiers et les q-coefficients binomiaux remontant à Euler et Gauss. Des q-analogues de nombres rationnels sont très peu apparus jusqu'à maintenant. On propose une définition basée sur des propriétés combinatoires des rationnels et des fractions continues. La définition des q-rationnels aboutit à un quotient de polynômes à coefficients entiers positifs, dont on peut donner des interprétations énumératives. Cette q-déformation s'étend naturellement aux réels et au groupe modulaire. Mentionnons des liens avec les polynômes de Jones et les algèbres amassées. Il s’agit d’un travail en commun avec V.Ovsienko.