Autour des équations stochastiques fractionnaires: Variations et estimation

Cette thèse est consacrée à l'étude de certaines classes d'équations aux dérivées partielles stochastiques de type fractionnaire dirigées par un bruit gaussien additif. Le caractère fractionnaire de ces équations est donné soit par l'opérateur différentiel qui intervient (le laplacien fractionnaire) ou bien par le bruit aléatoire. La perturbation aléatoire qui dirige ces équations peut avoir une corrélation en temps ou en espace. Dans un premier temps, on analyse l'équation de la chaleur stochastique avec un opérateur différentiel donné par le laplacien fractionnaire d'ordre alpha dans ]1, 2]. Le bruit aléatoire qui intervient dans cette équation est additif et il se comporte comme un processus de Wiener par rapport à la variable temporelle et comme un bruit blanc ou colorié par rapport à la variable spatiale. Nous obtenons des résultats concernant l'existence de la solution, la régularité de ses trajectoires ainsi que sa loi de probabilité. Nous remarquons un lien étroit entre la solution de l'équation fractionnaire de la chaleur et certains processus stochastiques fractionnaires (mouvement brownien fractionnaire ou bifractionnaire). En utilisant ce lien, nous étudions le comportement asymptotique des variations généralisées de la solution, en temps et en espace. Nous proposons également, dans la situation où l'équation initiale dépend d'un paramètre de dérive (ou de drift), des estimateurs pour ce paramètre. Les estimateurs s'expriment en fonction des variations généralisées de la solution et nous utilisons les comportements de celles-ci pour obtenir les propriétés asymptotiques (consistance, normalité asymptotique) de nos estimateurs. Dans un deuxième temps, on analyse l'équation stochastique des ondes sur un intervalle fini en espace. Ici le caractère fractionnaire est donné par le bruit gaussien qui se comporte comme un mouvement brownien fractionnaire avec un indice de Hurst H dans ]1/2,1[par rapport à la variable temporelle et comme un mouvement brownien standard en espace. Notre analyse est basé sur l'écriture sous la forme d'une série trigonométrique du noyau associé à l'équation des ondes. Des différentes propriétés de la solution sont ainsi obtenues, parmi lesquelles l'existence, la continuité holdérienne de ses trajectoires, la propriété dite de scaling et le comportement par rapport à l'indice de Hurst.