Analyse par ondelettes de processus dans des chaos de Wiener

Dans cette thèse, on s'intéresse à des extensions du mouvement brownien fractionnaire qui appartiennent à des chaos de Wiener. De façon générale un processus stochastique appartient à un chaos de Wiener (homogène) d'ordre n si ce processus peut être représenté par une intégrale (stochastique) de Wiener multiple d'ordre n ; il est non gaussien lorsque n>1. La complexité nettement plus grande de l'intégrale de Wiener multiple par rapport à l'intégrale de Wiener classique (c'est-à-dire d'ordre 1) rend l'étude des processus chaotiques beaucoup plus complexe que celle des processus gaussiens, et même des processus stables parfois. A titre d'exemples de difficultés, on peut mentionner que la non corrélation de deux variables aléatoires d'un chaos de Wiener non gaussien n'entraîne pas forcément leur indépendance ; et que contrairement aux processus gaussiens et stables les fonctions caractéristiques des lois fini-dimensionnelles des processus chaotiques ne sont pas données par des formules explicites et exploitables. A cause de telles difficultés les méthodes d’ondelettes ne se sont guère développées dans le cadre des chaos de Wiener non gaussiens. L’un des objectifs de la thèse est de mettre en place de nouvelles stratégies permettant de contourner ces difficultés et de développer ces méthodes. Un autre objectif est de construire des extensions chaotiques et non gaussiennes du mouvement brownien fractionnaire ayant une rugosité locale qui varie d'un point à un autre, et ensuite d'étudier de façon précise la régularité de leurs trajectoires.