Dilatations des opérateurs et projections L^p

Cette thèse porte sur l'étude de classes d'opérateurs. On étudie principalement deux familles différentes de classes d'opérateurs. - Les premières classes étudiées sont des classes d'opérateurs sur des espaces de Hilbert généralisant les classes $C_{ ho}$ de Sz.Nagy et Foias. Pour $( ho_n)_n$ une suite de nombres complexes non-nuls, on définit la classe $C_{( ho_n)}(H)$ comme l'ensemble des opérateurs $T in mathcal{L}(H)$ qui possèdent une $( ho_n)$-dilatation : il existe un espace de Hilbert K et un opérateur unitaire $U in mathcal{L}(K)$ avec $H subset K$ tels que $T^n= ho_n P_H U^n|_H$ pour tout n $geq$ 1 ($P_H in mathcal{L}(K)$ étant la projection orthogonale de K sur H). Ces classes peuvent être associées à une fonction holomorphe $f_{( ho_n)}$ ainsi qu'à une quasi-norme $w_{( ho_n)}$. Nous utilisons les liens entre ces trois objets pour caractériser, décrire, et donner plusieurs propriétés spectrales sur les opérateurs contenues dans ces classes. Nous exhibons de même des relations entre plusieurs classes de cette forme, nous généralisons des résultats connus pour les classes $C_{( ho)}$, et donnons divers exemples et situations offrant des comportements différents du cas $C_{( ho)}$. Nous apportons aussi une nouvelle vision géométrique sur un résultat entre des quasi-normes $w_{ ho}$, et nous étendons des calculs de $w_{ ho}(T)$ pour des opérateurs T annulés par un polynôme de degré deux. - La deuxième partie principale de cette thèse concerne les classes de L^p-projections. Une L^p-projection sur un espace de Banach X, pour $1leq p leq +infty$, est une projection P qui vérifie $ |f|_X = |(|P(f)|_X, |(I-P)(f)|_X) |_{ell_{p}}$ pour tout f dans X. Cette relation est une version L^p de l'égalité $|f|^2=|Q(f)|^2 + |(I-Q)(f)|^2$, vérifiée pour les projections orthogonales dans les espaces de Hilbert. Nous nous intéressons aux relations entre les L^p-projections sur un espace de Banach X et celles sur un sous-espace F, sur un quotient X/F, ou sur un sous-espace de quotient G/F. Des caractérisations complètes sont apportées pour des espaces de Banach vérifiant quelques propriétés additionnelles, et selon la valeur de p. Nous introduisons aussi la notion de L^p-projection maximale pour X, c'est-à-dire des L^p-projections définies sur un sous-espace G de X qui ne peuvent pas être étendues comme L^p-projections sur un sous-espace plus grand, et étudions leurs propriétés, en particulier dans le cas de la dimension finie. Nous obtenons de même une caractérisation des L^{infty}-projections sur tous les espaces L^{infty}(Omega) via de nouvelles méthodes, en généralisant ainsi les résultats connus à ce sujet.