Opérateurs de Toeplitz et opérateurs de composition sur les espaces de de Branges-Rovnyak

Cette thèse est consacrée à l'étude des opérateurs de Toeplitz et des opérateurs de composition sur les espaces de de Branges-Rovnyak $mathcal H(b)$, qui sont une classe d'espaces de Hilbert de fonctions analytiques dans le disque unité ouvert $mathbb D$ du plan complexe, paramétrée par une fonction $b$ dans la boule unité de $H^infty$. Ces espaces ont été introduits, dans les années 60, pour construire un modèle pour les contractions sur un espace de Hilbert, mais on s’est aperçu depuis qu’ils avaient un rôle important à jouer dans de nombreuses questions de théorie des opérateurs et de théorie des fonctions d’une variable complexe. Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés, d'une part, à l'étude des opérateurs de Toeplitz $T_{ ar{ varphi}}$, où $varphiin H^infty$, qui agissent de façon borné sur $mathcal H(b)$. Nous avons donné quelques estimations de la norme de ces opérateurs, puis nous avons obtenu une caractérisation de la compacité. Nous avons également étudié la dynamique de ces opérateurs, en donnant une caractérisation de l’hypercyclicité et en construisant un vecteur cyclique commun. Comme souvent dans la théorie des espaces de de Branges-Rovnyak, ces propriétés vont dépendre du fait que $log(1-|b|)$ est intégrable ou non sur $mathbb T$. Nous avons ainsi généralisé un certain nombre de résultats connus pour les opérateurs de Toeplitz standard $T_{ varphi}$ définis sur $H^2$ et les opérateurs de Toeplitz tronqué $A_{ varphi}^{Theta}$ définis sur l'espace modèle $K_{ Theta}=mathcal H(Theta)$ (correspondant au cas où $b=Theta$ est une fonction intérieure). D'autre part, nous nous sommes également intéressés à une autre classe d'opérateurs naturels, à savoir les opérateurs de composition sur $mathcal H(b)$. Dans le cas, où la fonction $b$ est une fonction rationnelle et telle que $log(1-|b|)$ est intégrable sur $mathbb T$, nous avons caractérisé la bornitude et la compacité des opérateurs de composition $C_varphi$ sur $mathcal H(b)$, en exploitant un lien intéressant avec les opérateurs de composition à poids sur $H^2$. Nous avons en particulier généralisé plusieurs résultats obtenus précédemment par Sarason-Silva pour les opérateurs de composition sur les espaces de Dirichlet locaux.