Meilleure constante dans l'inégalité de Sobolev

Par invariance conforme, l'inégalité de Sobolev optimale s'écrit de manière équivalente sur l'espace euclidien, la sphère ronde et l'espace hyperbolique. Par analogie, nous proposons dans ce travail trois variétés à poids auxquelles nous attribuons les noms de Caffarelli, Kohn et Nirenberg pour la raison suivante: l'inégalité classique de Caffarelli-Kohn-Nirenberg sur l'espace euclidien peut être reformulée comme une inégalité de Sobolev sur l'espace euclidien CKN. Elle est équivalente à des inégalités similaires (mais nouvelles) sur la sphère CKN et l'espace hyperbolique CKN. De plus, la zone optimale de brisure de symétrie pour les extrémales se trouve avoir une signification purement géométrique en termes de condition de courbure-dimension (intégrée). Pour démontrer ces résultats, nous utilisons une notion généralisée de courbure scalaire due à Bakry, une version à poids du calcul d'Otto, la reformulation des inégalités en termes d'inégalités d'entropie-production d'entropie le long de flots gradients dans l'espace de Wasserstein, et en fin de compte des outils d'EDP elliptiques pour construire des preuves rigoureuses et concises.