Deux sujets en théorie des nombres: spécialisation de Hilbert de variétés paramétrées et structure galoisienne de la racine carrée de la codifférente

Dans cette thèse, nous traitons de deux sujets en théorie des nombres : la spécialisation de Hilbert de variétés paramétrées et la structure galoisienne de la racine carrée de la codifférente d'extensions non abéliennes métacycliques. La spécialisation de Hilbert est un outil important en Géométrie Arithmétique et en Arithmétique des Corps qui a généralement été appliqué aux polynômes, donc aux hypersurfaces, et en valeurs scalaires. Dans la première partie de cette thèse, nous étendons cet outil aux idéaux premiers, donc aux variétés affines. Nous donnons ensuite une application à l'étude de l'irréductibilité de l'intersection des variétés. Enfin, encouragé par des résultats récents, nous considérons la situation plus générale dans laquelle la spécialisation est faite en des valeurs polynomiales, au lieu de valeurs scalaires. Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudierons la structure galoisienne de la racine carrée de la codifférente. Étant donné un corps de nombres $K$ et un groupe $Gamma$, nous considérons une extension de Galois modérément ramifiée $N/K $ à groupe de Galois isomorphe à $Gamma$. Si nous prenons $Gamma$ d'ordre impair, nous pouvons définir un idéal fractionnaire de $N$ qu'on appele la {itshape racine carrée de la codifférente} $mathcal{A}_{N/K}$. Cet idéal fractionnaire est ambige, il peut donc être muni de manière naturelle d'une structure de $O_K[Gamma]$-module. De plus, c'est un $O_K[Gamma]$-module localement libre. Donc nous pouvons considérer sa classe $[mathcal{A}_{N/K}]$ dans $Cl(O_K[G])$, le groupe des classes des $O_K[G]$-modules localement libres. Maintenant, soient $M$ un $O_K$-orde maximal dans l'algèbre semi-simple $K[G]$ contenant $O_K[G]$ et $Cl(M)$ son groupe des classes. Ainsi, on peut considérer la classe $[Motimes_{O_K[G]}Aa_{N/K}]$ dans $Cl(M)$. On note $RR(Aa,O_K[G])$ et $RR(Aa,M) $ l'ensemble de toutes les classes $[mathcal{A}_{N/K}]$ et $[Motimes_{O_K[G]}Aa_{N/k}]$, respectivement, lorsque $N$ varie parmi toutes les extensions modérément ramifiées de $K$ à groupe de Galois isomorphe à $G$. On conjecture que $RR(Aa,O_K[G])$ et $RR(Aa,M)$ sont des sous-groupes de $Cl(O_K[G])$ et $Cl(M)$, respectivement. Sous des hypothèses appropriées, nous prouvons d'abord que $RR(Aa,M)$ est un sous-groupe de $Cl(M)$ lorsque $Gamma$ est un groupe cyclique d'ordre un nombre premier impair. Ensuite, quand $G$ est un groupe métacyclique non abélien d'ordre impair $lq$, pour $q$ un premier impair, on définit un sous-ensemble de $RR(Aa,M)$ et, en utilisant le premier résultat, nous démontrons qu'il est un sous-groupe de $Cl(M)$.