Dérivation de modèles de diffusion croisée à partir de l'équation de Boltzmann multi-espèce dans la limite diffusive

Dans cet exposé, nous considérons un modèle cinétique multi-espèce en limite diffusive. Formellement, on peut montrer que les moments des solutions de l’équation de Boltzmann pour les mélanges convergent vers des solutions des équations de diffusion croisée de Maxwell-Stefan, lorsque les nombres de Knudsen et de Mach tendent vers zéro. Cette convergence formelle est obtenue par la méthode des moments, qui repose sur l’ansatz que les fonctions de distribution sont des Maxwelliennes locales de vitesses macroscopiques différentes. On montre également qu'en utilisant une approche perturbative, on obtient formellement les équations de Fick (qui sont également des équations de diffusion croisée).

En ce qui concerne les schémas numériques pour de telles équations cinétiques de mélanges, les approches précédentes [Jin, Li '13] ne sont pas adaptées au régime diffusif auquel nous nous intéressons. Nous proposons donc un nouveau schéma numérique, basé, comme l’analyse formelle dans le premier cas, sur la méthode des moments, et qui approche les solutions du modèle cinétique à la fois en régime raréfié et dans la limite diffusive. Nous montrons des estimations a priori (conservation de la masse et positivité) ainsi que l’existence d’une solution au schéma numérique. Nous présentons également des simulations numériques illustrant le comportement préservant l’asymptotique du schéma, et sa capacité à capturer des effets de diffusion croisée (diffusion remontante) pour les mélanges. 

En conclusion, les liens entre les modèles de Maxwell-Stefan et de Fick seront brièvement discutés.

Il s'agit de travaux en collaboration avec Andrea Bondesan, Laurent Boudin, Marc Briant, Vincent Pavan et Francesco Salvarani.