Champs de vecteurs singuliers de type noeud-cols 2-résonants en dimension 3: classification analytique et liens avec les équations de Painlevé

Dans cet exposé, nous nous intéresserons au type de champs de vecteurs singuliers qui apparait à l'infini dans les équations de Painlevé (P1),..., (P5) (pour des valeurs génériques des paramètres), après compactification à poids de l'espace complexe tridimensionnel. Nous commencerons par rappeler quelques généralités sur l'étude des champs de vecteurs en dimension 2 (en particuliers le cas du noeud-col étudié par Martinet et Ramis) pour voir comment  généraliser cela en dimension 3 (on s'appuiera également sur les résultats de classification analytique de Stolovitch pour les champs 1-résonants). On commencera ensuite par donner une classification formelle de la famille de champs de vecteurs considérée sous l'action de certaines transformations formelles fixant la singularité, en exhibant pour cela des formes normales (formelles) uniques. Ensuite, on énoncera un théorème de normalisation sectorielle, généralisant ainsi un théorème de Hukuhara-Kimura-Matuda pour les noeud-cols en dimension 2. Enfin, on verra comment l'étude des applications de recollements entre les différentes normalisations sectorielles permet d'obtenir un résultat de classification analytique à la Martinet-Ramis, en exhibant des invariants analytiques appelés difféomorphismes de Stokes. Si le temps le permet, on terminera par mettre ces résultats en lien avec la première équation de Painlevé (P1).