Simulation exacte de diffusions browniennes (biaisées) avec dérive discontinue

Cette thèse de doctorat consiste en l’étude et en la simulation exacte de deux classes de diffusions browniennes à valeurs réelles: le mouvement brownien biaisé en plusieurs points et les diffusions browniennes avec dérive admettant un nombre fini de sauts. Le mouvement brownien biaisé a été construit dans les années soixantes par Itô et McKean à partir du mouvement brownien réfléchi, en retournant chacune de ses excursions indépendamment et avec une probabilité donnée. Ce processus markovien admet un comportement semblable au processus original, excepté au point 0 où le biais se produit, et qui joue le rôle de barrière semi-perméable. Plus généralement, on appelle diffusion biaisée en plusieurs points une diffusion évoluant entre plusieurs barrières semi-perméables. Lorsqu’une telle diffusion atteint l’une de ces barrières, elle est partiellement réfléchie, avec une probabilité dépendant de la barrière.

Dans cette thèse nous obtenons tout d’abord une représentation du semi-groupe de transition du mouvement brownien biaisé avec dérive constante sous la forme d’une intégrale de contour, grâce à l’étude fine des propriétés complexes de ce semi-groupe. Cette représentation nous fournit alors une formule explicite et novatrice pour la densité de transition du mouvement brownien avec dérive constante biaisé en deux points. L’expression de cette densité consiste en une série de fonctions gaussiennes et spéciales. Nous proposons dans un deuxième temps une nouvelle méthode généralisée de simulation par rejet qui offre la possibilité d’échantillonner de façon exacte à partir d’une densité, même si elle n’est connue que par approximation, sans aucune autre erreur que celles de l’ordinateur. Nous appliquons ensuite ce nouveau schéma à la simulation d’un mouvement brownien avec dérive constante, biaisé en deux points. La densité instrumentale choisie est alors celle du mouvement brownien (non biaisé) avec dérive constante. Chemin faisant, nous obtenons une borne uniforme pour le quotient de ces deux densités. Nous présentons également des simulations numériques qui permettent d’étudier l’efficacité de notre algorithme.

Un autre objectif de la thèse est de développer un algorithme de simulation exacte pour les diffusions browniennes avec dérive admettant plusieurs sauts. Dans la littérature mathématique actuelle seul le cas de dérives continues (respectivement dérives admettant un seul saut) a été traité. La méthode théorique proposée permet d’étendre l’étude à un nombre quelconque de discontinuités. Nous nous concentrons sur le cas de dérives à deux sauts, en utilisant l’expression explicite de la densité de transition obtenue précédemment. Des exemples variés sont présentés et l’efficacité de la méthode est discutée.