Géométrie et actions de groupes discrets

          Les travaux que nous présentons s'articulent autour de trois thèmes : les actions propres sur les espaces homogènes, les représentations d'Anosov de groupes hyperboliques dans des groupes de Lie et le spectre discret du laplacien sur les espaces localement symétriques pseudo-riemanniens. Ils sont issus de collaborations avec J. Danciger, F. Guéritaud, O. Guichard, T. Kobayashi, A. Wienhard et M. Wolff.

          Deux familles importantes d'espaces homogènes que nous considérons sont les espaces hyperboliques pseudo-riemanniens H^{p,q} et les groupes de Lie simples G vus comme espaces homogènes de GxG pour l'action par multiplication à droite et à gauche. A l'intersection de ces deux familles se trouve l'espace anti-de Sitter de dimension trois, AdS^3, correspondant à p=q+1=2 et à G=PO(2,1)_0.

          Le chapitre 1 introduit la notion d'action fortement propre sur un espace homogène, qui renforce et permet de quantifier la notion d'action propre. Le chapitre 2 est consacré aux actions propres sur AdS^3, et plus généralement sur PO(n,1) par multiplication à droite et à gauche ; il repose sur une étude fine des applications lipschitziennes équivariantes de l'espace hyperbolique réel dans lui-même. Les chapitres 3 et 4 concernent les actions propres sur R^n par transformations affines ou, de manière équivalente, les pavages affines de R^n par des briques non nécessairement compactes. Le chapitre 3 développe l'idée que les variétés quotients de R^3 par des groupes libres (espaces-temps de Margulis) sont des « version infinitésimales », et même des « limites », de variétés anti-de Sitter qui dégénèrent ; ce point de vue mène à une description de la topologie et de la géométrie de ces variétés. Au chapitre 4 nous construisons de nouveaux exemples d'actions affines propres en dimension supérieure, par des groupes qui ne sont ni virtuellement libres, ni virtuellement résolubles. Le chapitre 5 est consacré aux représentations d'Anosov de groupes hyperboliques dans des groupes de Lie réductifs réels : il en présente diverses caractérisations, ainsi qu'une nouvelle construction d'actions propres sur des espaces homogènes et des compactifications des variétés quotients correspondantes. Enfin, au chapitre 6 nous étudions le spectre du laplacien sur les espaces localement symétriques pseudo-riemanniens et montrons que dans de nombreux cas le spectre discret contient une partie infinie qui est stable par petites déformations.