Modèles gaussiens et méthodes à noyaux

Les méthodes à noyaux ont été beaucoup utilisées pour transformer un jeu de données initial en les envoyant dans un espace dit « à noyau » ou RKHS, pour ensuite appliquer une procédure statistique sur les données transformées. En particulier, cette approche a été envisagée dans la littérature pour tenter de rendre un modèle probabiliste donné plus juste dans l'espace à noyaux, qu'il s'agisse de mélanges de gaussiennes pour faire de la classification ou d'une simple gaussienne pour de la détection d'anomalie. Ainsi, cette thèse s'intéresse à la pertinence de tels modèles probabilistes dans ces espaces à noyaux.

Dans un premier temps, nous nous concentrons sur une famille de noyaux paramétrée - la famille des noyaux radiaux gaussiens - et étudions d'un point de vue théorique la distribution d'une variable aléatoire projetée vers un RKHS correspondant. Nous établissons que la plupart des marginales d'une telle distribution est asymptotiquement proche d'un « scale-mixture » de gaussiennes - autrement dit une gaussienne avec une variance aléatoire - lorsque le paramètre du noyau tend vers l'infini. Une nouvelle méthode de détection d'anomalie utilisant ce résultat théorique est introduite.

Dans un second temps, nous introduisons un test d'adéquation basé sur la Maximum Mean Discrepancy pour tester des modèles gaussiens dans un RKHS. En particulier, notre test utilise une procédure de bootstrap paramétrique rapide qui permet d'éviter de ré-estimer les paramètres de la distribution gaussienne à chaque réplication bootstrap.