Balades aléatoires

Mes thèmes de ces dernières années sont nés du hasard des rencontres, lors des colloques, des discussions entre collègues… En choisissant de m'étendre sur trois sujets très différents, j'essaierai de rendre un peu de la variété de ces «balades aléatoires».

Dans un premier temps, nous allons déterminer les vitesses optimales d'estimation des lois des mélanges finis, corrigeant les vitesses erronées de la littérature dans le cas minimax. Nous obtenons  du $n^{-1/(4d-2)}$ pour les mélanges à au plus $d$ composantes, ce qui converge bien vers les vitesses non paramétriques du cas à nombre infini de composantes. Cependant, les vitesses point par point sont en $n^{-1/2}$. Ceci s'explique par le fait que ce régime asymptotique est atteint très tard  quand des composantes sont proches.

Puis nous essaierons d'utiliser la théorie de l'acquisition compressée (compressed sensing) sous des contraintes physiques : la théorie de base part du principe que les points d'acquisition sont aléatoires indépendants les uns des autres. En IRM, par exemple, ils doivent suivre une courbe avec des contraintes de continuité, de vitesse et d'accélération. Certains algorithmes sont développés pour projeter une telle courbe sur une mesure cible.

Enfin nous nous intéresserons au processus de droites de Poisson impropre. Il s'agit de jeter des droites dans l'espace uniformément au hasard, de les munir d'une vitesse limite, les droites les plus lentes étant denses. Il est alors possible de relier tous les points de l'espace en un temps fini en restant sur ces «routes». Un tel «réseau routier» est invariant par changement d'échelle et isométrie, et tous les «itinéraires» passent par les mêmes routes, à part près de leurs points de départ. Cela fait de ce réseau un SIRSN (scale-invariant random spatial network) au sens d'Aldous, en toute dimension. C'est le premier exemple naturel de cette structure.