Le problème de Kodaira pour le groupe fondamental

Le problème de Kodaira est de déterminer si toute variété kählerienne compacte est équivalente par déformation à une variété complexe projective. Les exemples de Claire Voisin que ceci n'est pas toujours possible, mais on peut espérer de montrer des variantes du problème de Kodaira en utilisant la géométrie biméromorphe. Dans cet exposé je vais discuter ces variantes du problème de Kodaira, en particulier je vais montrer qu'on a une première réponse positive pour le groupe fondamental : le groupe fondamental d'une variété compacte kählerienne de dimension trois peut toujours être réalisé comme groupe fondamental d'une variété projective. Ceci est travail en commun avec Benoit Claudon.