Exposant critique et dimension de Hausdorff en géométrie Anti-de Sitter

Exposant critique et dimension de Hausdorff sont deux invariants très étudiés dans le cadre des variétés hyperboliques. L'exposant critique se lit à travers l'action du groupe fondamental d'une variété sur son revêtement universel ou de manière équivalente sur la variété elle-même, à travers la croissance du nombre des géodésiques fermées. La dimension de Hausdorff de l'ensemble limite du groupe se lit sur le bord du revêtement universel. Un résultat de D. Sullivan (1979) montre que ces deux invariants coïncident dans le cas (de certaines) des variétés hyperboliques. Le problème pour généraliser ces invariants au cadre Lorentzien est l'absence d'une métrique sur la variété et sur le bord du revêtement universel.

Je décrirai en premier lieu les résultats "classiques" dans le cadre hyperbolique. Dans un second temps je définirai l'espace Anti-de Sitter et j'introduirai les variétés globalement hyperboliques, qui sont les analogues Lorentziens des variétés quasi-Fuchsiennes hyperboliques. Enfin, j'expliquerai comment on peut contourner l'absence de métrique dans ce cadre. Si le temps le permet je tracerai les grandes lignes de la preuve, montrant que ces deux invariants coïncident dans notre cadre.