Sur les explosions de second type pour l'équation de la chaleur semi-linéaire

Orateur: 
Charles Collot
Affiliation: 
Université de Nice Sophia Antipolis
Dates: 
Jeudi, 18 Mai, 2017 - 11:00 - 12:00
Résumé: 
Cet exposé sera consacré aux solutions de l'équation de la chaleur semi-linéaire
$$\partial_{t}u=\Delta u +|u|^{p-1}u, \ \ p>1,$$
qui deviennent singulières $\| u(t)\|_{L^{\infty}}\rightarrow +\infty$ en temps fini $t\uparrow T$. Les singularités dites du premier type sont celles pour lesquelles cette divergence est semblable à celle de l'équation différentielle ordinaire $y'=|y|^{p-1}y$, c'est-à-dire~:
$$\underset{t\uparrow T}{\text{lim-sup}} \ (T-t)^{\frac{1}{p-1}} \| u(t)\|_{L^{\infty}}<+\infty$$
(cette $\text{lim-sup}$ n'étant jamais $0$). Celles du second type sont celles pour lesquelles la vitesse d'explosion est plus lente
$$\underset{t\uparrow T}{\text{lim-sup}} \ (T-t)^{\frac{1}{p-1}} \| u(t)\|_{L^{\infty}}=+\infty .$$
Dans le cas radial, au coeur du mécanisme explosif de ces dernières est la concentration en temps fini d'un état stationnaire. Cela signifie que la description à l'ordre principal de la solution près de la singularité est un état stationnaire $Q$, $\Delta Q+|Q|^{p-1}Q=0$, renormalisé à une échelle de plus en plus petite :
$$u(t,x)\sim \frac{1}{\lambda (t)^{\frac{2}{p-1}}}Q\left(\frac{x}{\lambda(t)}\right), \ \ \lambda (t)\ll \sqrt{T-t}.$$
Après avoir donné un aperçu historique des recherches sur ces solutions, j'expliquerai des résultats d'existence. Les techniques d'analyse présentées concernent la dynamique linéaire près d'un profil principal dont l'échelle varie avec le temps, la dérivation d'asymptotiques formelles, et les techniques d'analyse non-linéaire pour stabiliser une solution approchée. L'emphase portera sur le cas non radial ou des résultats récents de nouveaux comportements seront présentés.