Une classe de schémas préservant l’asymptotique pour les écoulements à faible nombre de Mach.

Depuis quelques années, un effort important a été consacré au développement de schémas pour la simulation numérique des écoulements compressibles sur mailles décalées, c'est-à-dire s'appuyant sur une discrétisation en espace (structurée ou non) des variables scalaires au centre des mailles et des vitesses aux faces de celles-ci. Les propriétés usuelles ont été démontrées pour ces schémas: existence de solutions, préservation des états admissibles, stabilité, inégalités d'entropie, consistance au sens de Lax. Outre leur simplicité et leur efficacité (les flux numériques sont très aisés à construire), ces schémas présentent l'intérêt suivant : si l'on suppose la masse volumique constante, ils dégénèrent vers un algorithme standard (et éprouvé) pour l'incompressible. En particulier, la discrétisation en espace garantit le contrôle de la pression en norme L^2 par le contrôle de son gradient en norme H^{-1} (propriété dite inf-sup discrète). Dans cet exposé, nous nous plaçons dans le cadre des équations de Navier-Stokes compressibles barotropes, et démontrons que la convergence vers le schéma pour l'incompressible est réellement obtenue: à maillage fixé, lorsque le nombre de Mach tend vers zéro, la masse volumique tend effectivement vers une constante maille par maille. L'analyse présentée ici adapte au niveau discret la théorie développée dans le papier de Lions et Masmoudi (1998) au niveau continu pour les solutions faibles. Elle s'étend à deux discrétisations en temps différentes, qui ont pour résultat de découpler les équations en faisant apparaître un problème elliptique discret pour la pression. Ce sont ces schémas qui ont un intérêt en pratique; l'un d'entre eux est utilisé quotidiennement dans le logiciel P2REMICS de l'IRSN, pour la simulation des déflagrations en phase gazeuse (explosion d'hydrogène).