Séries universelles multiples
Analyse Fonctionnelle
Lieu:
Salle Kampé de Fériet M2
Orateur:
Stéphane Charpentier
Affiliation:
Marseille
Dates:
Vendredi, 3 Février, 2017 - 14:00 - 15:00
Résumé:
Etant données $(\lambda _n)_n$ et $(\mu_n)_n$ deux suites d'entiers strictement croissantes, on dit qu'une série entière $f(z)=\sum_i a_i z^i$, de rayon de convergence $1$, est une série $doublement$ universelle (relativement à $(\lambda _n)_n$ et $(\mu_n)_n$) si pour tout compact $K$ en dehors de $\mathbb D$, de complémentaire connexe, et toutes fonctions $g_1,\,g_2$ continues sur $K$ et holomorphes à l'intérieur, il existe une suite $(n_k)_k$ d'entiers telles que
$$\Vert \sum _{i=0}^{\lambda _{n_k}}a_iz^i -g_1(z)\Vert _K\rightarrow 0\quad \text{et}\quad\Vert \sum _{i=0}^{\mu _{n_k}}a_iz^i -g_2(z)\Vert _K\rightarrow 0,\,k\rightarrow \infty.$$
Dans un article de 2014, Costakis et Tsirivas introduisent cette notion, dérivée bien sûr de celle de série universelle classique (et qui rappelle celle d'hypercyclicité disjointe introduite en 2007 par Bernal et Bès-Peris), et donnent une condition nécessaire et suffisante sur $(\lambda _n)_n$ et $(\mu_n)_n$ à l'existence d'une telle série. Leur démonstration, en particulier celle du caractère nécessaire de la condition, repose sur des notions relativement avancées de théorie du potentiel. En 2017, Vlachou étend, par des méthodes similaires, leur résultat à un nombre fini quelconque de suites (nous parlerons de séries universelles $multiples$). Dans cet exposé, nous proposerons une construction directe d'un certain type de séries universelles multiples qui permettra de voir que des résultats connus pour les séries universelles classiques s'adaptent aux séries universelles multiples. Nous verrons aussi une preuve très simple, sans théorie du potentiel, du caractère nécessaire de la condition donnée par Costakis et Tsirivas.
$$\Vert \sum _{i=0}^{\lambda _{n_k}}a_iz^i -g_1(z)\Vert _K\rightarrow 0\quad \text{et}\quad\Vert \sum _{i=0}^{\mu _{n_k}}a_iz^i -g_2(z)\Vert _K\rightarrow 0,\,k\rightarrow \infty.$$
Dans un article de 2014, Costakis et Tsirivas introduisent cette notion, dérivée bien sûr de celle de série universelle classique (et qui rappelle celle d'hypercyclicité disjointe introduite en 2007 par Bernal et Bès-Peris), et donnent une condition nécessaire et suffisante sur $(\lambda _n)_n$ et $(\mu_n)_n$ à l'existence d'une telle série. Leur démonstration, en particulier celle du caractère nécessaire de la condition, repose sur des notions relativement avancées de théorie du potentiel. En 2017, Vlachou étend, par des méthodes similaires, leur résultat à un nombre fini quelconque de suites (nous parlerons de séries universelles $multiples$). Dans cet exposé, nous proposerons une construction directe d'un certain type de séries universelles multiples qui permettra de voir que des résultats connus pour les séries universelles classiques s'adaptent aux séries universelles multiples. Nous verrons aussi une preuve très simple, sans théorie du potentiel, du caractère nécessaire de la condition donnée par Costakis et Tsirivas.
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