Localité des paramètres critiques pour les graphes de Cayley

Etant donné un graphe de Cayley, la mécanique statistique permet de définir plusieurs quantités d'importance. Le paramètre critique de percolation nous renseigne sur la densité d'arêtes qu'il est nécessaire de condamner aléatoirement pour morceler le graphe de départ en composantes toutes finies. La constante de connectivité, quant à elle, est le taux de croissance exponentiel du nombre de chemins injectifs de longueur n (issus d'un sommet fixé). Une question fondamentale est de savoir comment ces paramètres dépendent du graphe considéré. Il est conjecturé que si l'on se restreint aux graphes de Cayley dont le paramètre étudié évite une valeur dite triviale, alors on peut estimer arbitrairement bien la valeur de ce paramètre si on connaît une boule de rayon suffisamment grand de ce graphe. Cette conjecture (dite de localité) est d'autant plus intéressante que la question de la trivialité du paramètre critique ne peut pas se résoudre à partir d'une boule de grand rayon, mais peut se résoudre à partir de la géométrie "à grande échelle" du graphe.