Sur la géométrie de quelques fonctions aléatoires

Le but de cet exposé est de présenter quelques résultats récents sur les propriétés de certaines fonctions aléatoires issues de la géométrie. Un exemple typique est le suivant : si $\lambda$ est une grande valeur propre du laplacien sur la sphère $S^2$, l’espace propre correspondant est de grande dimension, et on peut y choisir une fonction propre aléatoirement suivant la mesure gaussienne standard ; on s’intéresse alors aux propriétés asymptotiques de cette fonction $\phi_\lambda$ dans la limite $\lambda \to \infty$. En particulier, on peut se demander quelle est la structure du domaine $\{z : \phi_\lambda(z) > 0\}$ : est-il formé d’une multitude de petites composantes connexes, ou bien comporte-t-il une composante dont la taille reste d’ordre $1$ pour $\lambda$ grand ? Cette question précise reste ouverte, mais j’expliquerai comment on peut appliquer des méthodes issues de la théorie de la percolation pour l’attaquer, et obtenir des résultats pour des modèles reliés. 

 

Travail effectué avec Damien Gayet (Institut Fourier, Université Grenoble-Alpes).