Des lois de réciprocité aux formes modulaires

En 1640 Fermat se demandait quels entiers positifs pouvaient être écrits comme somme de deux carrés. La recherche d'une réponse à cette question a motivé la découverte d'un fait surprenant : si  p et q sont deux nombres premiers impairs, "la nature du reste de la division de p par q et celle du reste de la division de q par p s'influencent réciproquement". C'est une formulation imprécise de ce qu'on appelle justement la "loi de réciprocité quadratique".

Le but de mon exposé sera de tracer les grandes lignes de ces développements et de les suivre ultérieurement jusqu'à aujourd'hui : j'essaierai d'expliquer ce qu'on entend en général par "lois de réciprocité", pourquoi la recherche de telles lois fait apparaître des objets complexes comme les formes modulaires, et comment ces questions (et leurs généralisations) se situent au cœur de la recherche contemporaine.