Méthodes de décomposition de domaine pour le calcul parallèle robuste et sa vérification en mécanique linéaire des structures

L'accroissement phénoménal des performances des structures mécaniques (par exemple 30\% d'émissions polluantes en moins d'une génération de moteurs d'avion à la suivante), a été rendu possible par l'utilisation de nouveaux matériaux et des conceptions optimisées (moins de jeu fonctionnel, moins de masse). En quelques années, les industriels ont perdu beaucoup de leurs repères et se trouvent à manipuler des modèles où les règles de dimensionnement héritées de décennies de pratique s'appliquent difficilement.

Dans ce contexte, les besoins en simulations fiables se sont fortement accrus.

 

Cette présentation va se focaliser sur le cas des évolutions (quasi)-statiques linéaires en petites perturbations. Autrement dit l'objectif est d'approcher la solution d'un système d'EDP linéaire elliptique posé sur un domaine de forme potentiellement complexe et constitué de matériaux fortement hétérogènes (sans séparation d'échelle possible). 

 

La pratique usuelle en ingénierie est d'utiliser une formulation en déplacement (primale) discrétisée par élément fini Galerkin continu et résolue par un solveur direct. Malgré les progrès récents dans les solveurs directs parallèles distribués, il n'est pas réaliste d'appliquer ces méthodes sur de grands problèmes ($10^8$ inconnues et plus). Par ailleurs, la vérification des calculs n'est pas encore réellement entrée dans les mœurs, en partie car cette dernière est rarement disponible dans les codes et peut se révéler extrêmement coûteuse en temps.

 

Mes travaux visent, en partie, à dépasser ces limites en utilisant les méthodes de décomposition de domaine. Cette présentation se focalisera sur les méthodes sans recouvrement de Schur (qui englobe notamment FETI, BDD, FETIDP, BDDC). Schématiquement, chaque sous-domaine est assigné à une unité de calcul qui va pouvoir résoudre localement (avec un solveur direct) n'importe quel problème aux limites. Un solveur de Krylov préconditionné et projeté est en charge de trouver la bonne condition d'interface. 

 

Dans un premier temps, je montrerai comment certaines situations (interface irrégulière, interface mal alignée avec les hétérogénéités, sous-domaines élancés,\ldots) conduisent à des problèmes très mal conditionnés, comment le multipréconditionnement apporte une réponse à cette difficulté et comment des stratégies d'adaptation permettent de limiter les coûts de calcul associés.

 

Dans un second temps, je montrerai comment il est possible de reconstruire en parallèle des champs admissibles sur l'ensemble de la structure (ie dans $H^1$ et $H^{div}$). On obtient alors des bornes $\inf$ et $\sup$ sur l'erreur (globale ou en quantité d'intérêt), où on peut distinguer la contribution du maillage de celle du solveur itératif. Ces dernières permettent de définir des critères objectifs pour l'arrêt du solveur de Krylov. Des stratégies grossières d'adaptation avec recyclage des espaces de Krylov ont été mises en œuvre pour aboutir à des calculs de qualité garantie.

 

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