Continuum Random Cluster Model

 Cette thèse s'intéresse  au Continuum Random Cluster Model (CRCM), modèle gibbsien de boules aléatoires où la densité non normalisée dépend du nombre de composantes connexes de la structure. Ce modèle est une version continue du Random Cluster Model introduit pour unifier l'étude du modèle d'Ising et du modèle de Potts. Le CRCM fut introduit pour sa relation avec le modèle de Widom-Rowlinson, fournissant une nouvelle preuve de la transition de phase pour ce modèle. Dans cette thèse nous avons dans un premier temps étudié l'existence du CRCM en volume infini pour une large classe de paramètres, incluant le cas q<1 ou les rayons non bornés. Dans le cas extrême  des rayons non intégrables, l'interaction est beaucoup plus compliquée à contrôler. Dans ce cas nous avons démontré un résultat de non-unicité du CRCM en petite activité. Nous avons de plus conjecturé que l'unicité serait obtenue en grande activité. La question reste ouverte, mais une version faible de la conjecture a été démontrée dimension 1. Il a été montré qu'en grande activité le CRCM à volume fini et à condition de bord vide converge vers le modèle booléen.

 Dans un second temps nous avons étudié la percolation du CRCM. La percolation s'intéresse aux propriétés de connectivité des structures aléatoires, en particulier à l'existence d'une composante connexe infinie. Cette propriété s'interpréte comme la perméabilité ou la conductivité des matériaux. La percolation est d'autant plus cohérente pour le CRCM dont l'interaction dépend directement de la connectivité de la structure aléatoire. Nous montrons dans cette thèse l'absence de percolation du CRCM en petite activité et la percolation du modèle en grande activité. Ce résultat permet de généraliser la preuve la transition de phase du modèle de Widom-Rowlinson à des rayons non bornés.