Quelques inégalités sur la fonction zêta du spectre de Steklov d'un domaine planaire

On considère le problème de la reconstruction d'un domaine planaire $\Omega$, lisse, borné et simplement connexe, à partir du spectre de son opérateur de Dirichlet-Neumann (spectre de Steklov). On établit une formulation analogue du problème. Puis on établit tout d'abord des inégalités sur la différence entre la fonction zêta du spectre de Steklov $\zeta_\Omega$ et 2 fois la fonction zêta de Riemann
$\zeta_R$, établissant ainsi qu'à périmètre fixe du domaine $\Omega$ et pour un réel $s$ plus grand que 1 en valeur absolue le minimun de $\zeta_\Omega(s)-2\zeta_R(s)$ est atteint quand $\Omega$ est un disque. Puis on établit les liens entre les valeurs aux entiers pairs négatifs de $\zeta_\Omega$, valeurs nommées zêta-invariants [Malkovich-Sharafutdinov, 2015], et les normes de Sobolev d'une paramétrisation du domaine planaire $\Omega$, liens qui généralisent un résultat dans  
[Edward, 1993]. De ces derniers résultats découle un théorème de compacité  sur l'ensemble Steklov-isospectral d'un domaine planaire borné. 

Ces travaux sont en collaboration avec Vladimir Sharafutdinov (Novisibirsk State University & Sobolev Institute of Mathematics).