Propriétés polynomiales de l'homologie des groupes de congruence

La description de l'homologie des groupes de congruence du type $GL_n(I)$, où $I$ est un anneau sans unité (c'est-à-dire un idéal d'un anneau unitaire $A$ ; $GL_n(I)=\mathrm{Ker}\,(GL_n(A)\to GL_n(A/I))$), constitue un problème difficile relié à celui de l'excision en K-théorie algébrique : $I$ est excisif jusqu'en degré $d$  si et seulement si l'action naturelle de $GL_n(\mathbb{Z})$ sur $H_i(GL_n(I);\mathbb{Z})$ est stablement (c'est-à-dire lorsque n tend vers l'infini) triviale pour $i\leq d$. En 1995, Suslin a montré que cette condition équivaut à la condition homologique suivante : $\mathrm{Tor}_i^{\mathbb{Z}\ltimes I}(\mathbb{Z},\mathbb{Z})=0$ pour $0<i\leq d$, où $\mathbb{Z}\ltimes I$ désigne l'anneau obtenu en ajoutant formellement une unité à $I$. De plus, il décrit, stablement en n et "à un terme constant près", l'homologie de $GL_n(I)$ en degré $d+1$, qui se trouve être quadratique en n.

    Plus récemment, à l'aide de l'étude homologique des FI-modules (foncteurs des ensembles finis avec injections vers les groupes abéliens), Putman, Church, Ellenberg, Farb, Nagpal, Miller, Reinhold ont montré des propriétés polynomiales en chaque degré homologique pour l'homologie de groupes de congruence associés à diverses classes d'anneaux sans unité (le résultat le plus général obtenu par ces méthodes traitant de tous les anneaux ayant un rang stable de Bass fini).

    Nous nous proposons d'expliquer comment des méthodes générales d'algèbre homologique dans les catégories de foncteurs et l'étude d'une notion appropriée de foncteur polynomial et de diverses structures multiplicatives permettent d'obtenir un résultat valable pour tout anneau sans unité (comme celui de Suslin, qu'il généralise) :  $H_d(GL_n(I);\mathbb{Z})$ définit toujours un foncteur polynomial de n de degré au plus $2d$ (en un sens que nous préciserons) - et de degré exactement $2d$ lorsque $I^2\neq I$.