Conjugaisons d'automorphismes

On a toutes et tous, étant petits, pris deux matrices, et calculé un changement de base réalisant la conjugaison de l'une  en l'autre, ou bien montré qu'il n'y avait pas de tel changement de base possible. Dans GL_n(R-ou-C) c'est plaisant, et facile. Dans GL_n(Z)  surgit l'obstacle que certains anneaux  (et certainement Z[X]) ne sont pas principaux. Pourtant le probleme est aussi legitime : on voudra savoir quand deux automorphismes du reseau Z^n sont conjugués en tant qu'automorphismes.  Meme quand n=2, situation que l'on aurait pu croire banale, on va rencontrer en chemin de la géométrie hyperbolique, et une conjecture de Gauss.
  Mais le jeu devient contrariant quand on traque la conjugaison d'automorphismes, non plus de Z^2  mais d'autres groupes similaires mais non-abeliens. Remplaçons  le reseau euclidien Z^2 par un reseau du plan hyperbolique. Ses automorphismes sont essentiellement les elements du groupe modulaire de Teichmuller d'une surface. Remplaçons le ensuite par un groupe libre (non-abelien). La situation est beaucoup moins linéaire. A quoi ressemblent ces automorphismes, et comment savoir si deux d'entre eux sont conjugués ? J'essaierai de parcourir les travaux sur ces sujets, du point de vue de la théorie géométrique des groupes, et des problemes algorithmiques.