Valeurs propres du laplacien avec une condition de Robin attractive forte.

Je présenterai des résultats récents sur des asymptotiques, dans des limites singulières, de valeurs propres d’opérateurs auto-adjoints définis sur des ouverts à coins en dimension n.
 Comme cas modèle, je traiterai le cas du laplacien de Robin avec une grande condition de Dirichlet. 

Dans une première partie, je présenterai des résultats pour le cas régulier, en donnant une asymptotique précise à l’aide d’un hamiltonien effectif, de type semi-classique, défini sur le bord et faisant intervenir la courbure moyenne. On peut déduire de ces résultats une inégalité de Faber-Krahn pour le cas régulier, soulevant des questions d’optimisation de la courbure moyenne du bord d’un ouvert de volume donné.

Dans une seconde partie, je présenterai le cas des ouverts à coins en dimension n, pour lesquels les singularités du bord modifient l’asymptotique. Je présenterai la classe récursive des ouverts à coins, et décrirai leur stratification ainsi que quelques outils associés aux chaînes singulières. Afin de déterminer l’asymptotique de la première valeur propre, il faut minimiser les bas du spectre d’opérateurs modèles définis sur les géométrie tangentes. A l’aide d’une analyse multi-échelle, on donne une asymptotique avec une estimation du reste.