Points entiers sur les courbes algébriques sur les corps de fonctions

Soient $C$ une courbe algébrique irréductible de  degré $d$ et $\Gamma$  un sous-ensemble de $C$ dan s un carré de taille $N$. Par le résultat de  Bombieri et  Pila, le nombre de points entiers dans $\Gamma$ est borné par $c(d,\epsilon)|N|^{1/d+\epsilon}$ pour tout $\epsilon>0$.

Ici on travaille dans les corps de fonctions $\mathbb{F}_q[T]$ où $q=p^\alpha$, $\alpha$ est un nombre entier, $p$ est un nombre premier et $T$ est une variable formelle. Donc les éléments de notre corps sont les polynômes en $T$ à coefficients dans $\mathbb{F}_q[T]$. L'intervalle en $\mathbb{F}_q[T]$ est définie par
$$I = \{X,Y \in \mathbb{F}_q[T] : X \text{ fixé}, \mathrm{deg}\, Y \leq n\}.$$

On prove un résultat analogue à celui de Bombieri-Pila.
Soient $C$ une courbe algébrique irréductible de degré $d$ sur $\mathbb{F}_q[T]$ et $S$ un ensemble de points de $C$ dans $I^2$.
Nous avons $|S| \ll |I|^{1/d+\epsilon}$.

Après on améliore ce résultat pour les courbes elliptiques.
Soient $K$ un corps des fonctions rationnelles sur une courbe algébrique du genre $g$ sur le corps constant $k$ de caractéristique $0$, $\mathcal{O}_S$ l'anneau des points $S$-entiers de $K$, $E$ une courbe elliptique non constante de conducteur $N$ et $N_E$ le degré de $N$. On définit les points S-entiers
$$E(\mathcal{O}_S) = \{P ∈ E(K) : x(P),y(P) \in \mathcal{O}_S\}.$$
Supposons que les points entiers de $E$ sont sur un modèle minimal.
Nous avons
$$\#E(\mathbb{F}_q[T]) \leq \exp \left( c\frac{\mathrm{deg}\, N_E}{\log \mathrm{deg}\, N_E} \right),$$
où la constante implicite est absolue.