La conjecture de Sard sur les surfaces de Martinet

Cet exposé concerne une application de la théorie des singularités à la géométrie sous-riemannienne. Soit $\Delta$ une distribution non-holonome de rang $2$ sur une variété $M$ de dimension $3$. Il est naturel d'étudier la taille de l'ensemble des points $\mathcal{X}^x$ qui peuvent être atteints à partir d'un même point $x \in M$ en utilisant des chemins horizontaux singuliers. Dans ce contexte, la conjecture de Sard affirme que $\mathcal{X}^x$ devrait être un sous-ensemble de la surface de Martinet $\Sigma \subset M$ de mesure de Hausdorff bidimensionnelle zéro.

Dans ce séminaire, je présenterai un travail en collaboration avec Ludovic Rifford où nous montrons que la conjecture est vraie lorsque la surface de Martinet $\Sigma$ est lisse. De plus, nous abordons le cas des surfaces de Martinet analytiques singulières et montrons que le résultat reste vrai sous une hypothèse de non-transversalité de la distribution $\Delta$ sur l'ensemble singulier $Sing(\Sigma)$ de la surface de Martinet. Nos méthodes reposent sur : (i) le contrôle de la divergence des champs de vecteurs engendrés par la distribution $\Delta$ sur la surface de Martinet $\Sigma$ et (ii) des techniques de résolution des singularités.