Modèles pour les semi-groupes d'opérateurs

Soit $(T_t)_{t \geqslant 0}$ et $(U_t)_{t \geqslant 0}$deux semi-groupes continus d'opérateurs sur un espace de Hilbert $H$. On dit que $(U_t)_t$ est un modèle pour $(T_t)_t$s'il existe un sous-espace $\mathcal{M}$ de $H$ invariant par $(U_t)_t$, des constantes $\lambda \in \mathbb{R}$ et $\mu \in \mathbb{R}^{+*}$ et un isomorphisme $S : \mathcal{M} \rightarrow H$tels que, pour tout $t \geqslant 0$, $T_t = e^{\lambda t} S (U_{\mu t})_{\left\vert \mathcal{M} \right.} S^{-1}$. L'objectif de cet exposé est de déterminer des semi-groupes qui modélisent une large classe de semi-groupes. Les semi-groupes d'opérateurs de multiplication sur des espaces de fonctions holomorphes joueront un rôle particulier dans cette étude. Dans cet exposé, après avoir présenté les notions d'universalité et de décomposition de Wold d'un opérateur, je montrerai comment ces techniques de modélisation peuvent s'appliquer à la théorie des semi-groupes. Ces travaux ont été effectués avec Isabelle Chalendar et Jonathan Partington.