Une approche constructive de la conjecture de Schäffer

Schäffer a prouvé en 1970 que pour toute norme matricielle induite et toute matrice $n\times n$ inversible $T$, l'inégalité $$ \left|\det T\right|\left\Vert T^{-1}\right\Vert \leq\mathcal{S}\left\Vert T\right\Vert ^{n-1} $$ est vérifiée avec $\mathcal{S}=\mathcal{S}(n)\leq\sqrt{en}$. Il a conjecturé que le meilleur $\mathcal{S}$ était en fait borné en $n$. Ceci a été réfuté par E. Gluskin, M. Meyer, A. Pajor et les contributions ultérieures de J. Bourgain et H. Queffelec qui ont successivement amélioré les minorations correspondantes de $\mathcal{S}$, s'appuyant sur une inégalité de Bourgain. La construction de contre-exemples explicites réfutant cette conjecture reste ouverte depuis 22 ans, l'inégalité de Bourgain reliant cette question à la théorie des sommes de puissances de nombres complexes et à certains problèmes de P. Turán.
Nous démontrons une analogue de l'inégalité de Bourgain nous conduisant à la construction des premiers contre-exemples explicites réfutant la conjecture de Schäffer. Il s'agit d'une suite de matrices $n\times n$ de Toeplitz de spectre fixe $\{\lambda\}$ avec $\lambda\neq0$ et $\left|\lambda\right|<1$ arbitraire, satisfaisant $\mathcal{S}\geq c(\lambda)\sqrt{n}$.
Un élément clé de notre approche sera d'étudier les normes $l_{p}$ des coefficients de Fourier de la puissance $n$-ième d'un automorphisme du disque unité, sujet initié par J-P. Kahane.
En cours de route, nous déterminons sur l'intervalle $]-1,1[$, le comportement asymptotique des polynômes de Jacobi dont le premier paramètre varie, sujet initié par G. Darboux.