Autour du problème d'Andreadakis
Soit $F_n$ le groupe libre de rang $n$. On considère le groupe $IA_n$ des automorphismes de $F_n$ qui agissent trivialement sur son abélianisé. Deux filtrations canoniques de $IA_n$ sont définies : la première est sa suite centrale descendante $\Gamma_*$ ; la seconde est la filtration d’Andreadakis $\mathcal A_*$, définie à partir de l’action sur $F_n$. Le problème d’Andreadakis est l’étude de la différence entre ces deux filtrations.
Après avoir mis en place un cadre général pour l’étude de telles filtrations et des filtrations sur les algèbres de groupes qui leur sont associées, nous étudions différentes versions de ce problème. En particulier, nous examinons sa restriction à certains sous-groupes de $IA_n$ : nous montrons que les deux filtrations coïncident si on les restreint aux groupes triangulaires et aux groupes de tresses. Nous examinons aussi le problème stable : nous montrons que le morphisme canonique entre les algèbres de Lie associées aux filtrations est surjectif si $n$ est assez grand devant le degré considéré. Nous étudions également une version $p$-restreinte du problème, calculant au passage l’algèbre de Lie du groupe de congruence.
Les méthodes employées sont essentiellement d’ordre algébrique. Elles proviennent de la théorie combinatoire des groupes ainsi que d’outils développés pour l’étude des groupes de difféotopie, et sont souvent reformulées avec un langage catégorique approprié.
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