Sur la conjecture de Simpson
Topologie
En 1991 M.Kapranov et V.Voevodsky ont publié un article sur l'hypothèse d'homotopie affirmant que tout type d'homotopie peut-être représenté par un infini groupoïdes dont les lois de compositions, d'unités et d'échanges sont strictes, et seule la loi d'inverse est 'faible' (i.e. seulement valide à 'isomorphisme' près). En 1998 Carlos Simpson a montré que ce résultat est faux, sans pouvoir réellement indiqué où était l'erreur, et a conjecturé (informellement) que si on autorise de plus les lois d'unités à être faibles alors le résultat devrait être vrai.
Bien qu'étant faux, l'article de Kapranov et Voevodsky contient énormément d'idées intéressantes, et d’ailleurs en énonçant sa conjecture C.Simpson a ajouté que celui-ci en contient probablement la preuve.
Dans l'exposé je reviendrai sur l'article de Kapranov et Voevodsky, et j'expliquerai précisément pourquoi il ne contient en réalité pas une preuve de la conjecture de Simpson et je présenterai des résultats nouveaux qui permettent de corriger ses principaux problèmes et qui suggèrent des similitudes intéressantes avec les énoncé de strictification pour les algèbres sur des opérades sigma-cofibrantes.
Je donnerais deux formulations précises (à priori non équivalentes) de la conjecture de Simpson (dite "régulière" et "générale") ainsi qu'une esquisse de preuve (travail en cours) de la version "régulière", qui suit les idées de Kapranov et Voevodsky. Si le temps le permet, j'expliquerai quelles sont les obstructions pour montrer la version 'générale' de la conjecture et je discuterais les possibilités d'étendre ces résultats aux infinis catégories faibles.
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