Sommes exponentielles, décomposition cellulaire et intégration p-adique

Dans cette thèse nous étudions des sommes exponentielles et des intégrales p-adiques, en utilisant la théorie des modèles et la géométrie. La première partie traite des familles de sommes exponentielles dans des corps P-minimaux. La deuxième partie examine le comportement asymptotique des sommes exponentielles sur les corps p-adiques.

Dans la première partie nous commençons par démontrer une théorème de décomposition cellulaire pour tous les corps P-minimaux, c'est-à-dire indépendamment de l'existence des fonctions de Skolem définissables. En l'absence de ces fonctions nous introduisons les cellules en grappe régulières, inspirés par la notion classique de cellule p-adique de Denef. Notre décomposition cellulaire utilise les cellules classiques et les cellules en grappe régulières.

Ensuite nous étendons la notion de fonction constructible exponentielle, déjà définie pour les structures semi-algébriques et sous-analytiques, à tous les corps P-minimaux. Pour cela nous ajoutons des familles de sommes exponentielles aux algèbres des fonctions constructibles. En utilisant notre décomposition cellulaire, nous démontrons que les fonctions constructibles exponentielles sont stables dans le contexte d'intégration. Cela signifie que l'intégration d'une telle fonction sur certaines de ses variables produit une fonction constructible exponentielle dans les autres variables.

Dans la deuxième partie nous démontrons les conjectures d'Igusa, Denef-Sperber et Cluckers-Veys sur le comportement asymptotique des sommes exponentielles pour les polynômes dont le seuil log-canonique ne dépasse pas un demi. Ces conjectures prédisent des bornes supérieures uniformes pour les valeurs absolues de certaines sommes exponentielles, dépendantes d'un polynôme. Nous apportons deux démonstrations ; l'une utilise l'intégration motivique et une décomposition cellulaire et l'autre les fonctions zêtas d'Igusa.