Statistique de racines réelles de polynômes aléatoires et processus ponctuels Pfaffiens

Dans cet exposé, je m’intéresserai aux polynômes aléatoires, dits polynômes de Kac, de degré n et dont les coefficients sont des variables aléatoires réelles et Gaussiennes indépendantes. Je montrerai comment obtenir la statistique complète du nombre de racines réelles, dans la limite où le degré n est grand. En particulier, la probabilité pour que ces polynômes n’aient aucune racine
réelle (la probabilité de "persistence") décroît algébriquement avec n avec un exposant 3/16. Ce résultat est obtenu en établissant une succession de relations entre ces racines réelles et différents processus ponctuels Pfaffiens issus de la physique statistique et de de la
théorie des matrices aléatoires.

Travail en collaboration avec M. Poplavskyi (King’s College, Londres), https://arxiv.org/abs/1806.11275